Der Satz von Vieta und Dr. Loh's Methode
Das schnelle Lösen von quadratischen Gleichungen – mit ganzzahligen Lösungen – ist etwas für den (Wurzel-)Satz von Vieta.
Ist eine quadratischen Gleichung in Normalform, genügt sie der Darstellung:
\[x^2 + px + q = 0\]
Diese Gleichung hat, wenn überhaupt, zwei Lösungen \(x_1\) und \(x_2\).
Wegen
\[(x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2 -(x_1+x_2)\cdot x + x_1\cdot x_2 = x^2 + px + q\]
muss somit \(p = -\left(x_1+x_2\right)\) und gleichzeitig \(q = x_1 \cdot x_2\) gelten.
Sucht man nach (ganzzahligen) \(x_1\) und \(x_2\), so nimmt man die Teilermenge \(T_q\) von \(q\) und prüft für jedes \(x \in T_q\) ob es ein \(y \in T_q\) gibt, so dass \(\pm x\) und \(\pm y\) sowohl die Gleichungen für \(p\) und \(q\) erfüllen. Ein für \(q\) passendes Paar zu finden ist dabei nicht das Problem. Aber die Gleichung für \(p\) muss auch erfüllt sein.
Ein Beispiel
Hat die Gleichung \(x^2 - 8 \cdot x + 12 = 0\) also nur ganzzahlige Lösungen, so reicht es die Teiler von \(12\) zu untersuchen. Nun ist \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\) und somit die Teilermenge von \(12\) die Menge \(T_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\).
Wegen der \(p=-8\) muss \(x_1 + x_2\) eine positive Zahl sein und wegen \(q=+12\) müssen \(x_1\) und \(x_2\) somit auch beide positiv sein.
Gesucht ist also die Lösung von \(x_1+x_2 = 8\) für \(x_1, x_2 \in T_{12}\).
Für \(1\) findet sich \(12\), für \(2\) findet sich \(6\) und für \(3\) findet sich \(4\). Danach drehen sich die Positionen nur noch um.
Weil \(1 + 12 = 13 \neq 8\) und \(3+4=7 \neq 8\) ist fallen diese Paate leider als Lösungen aus.
Da \(2+6=8\) und \(2 \cdot 6 = 12\) ist, haben wir mit \(x_1=2\) und \(x_2=6\) eine Lösung gefunden.
Dr. Loh’s Methode
Dr. Loh’s Methode zielt darauf ab, das Raten des Lösungspaars \(x_1\) und \(x_2\) etwas stärker in eine Berechnung zu überführen.
Wir starten mit \(p=8\) und wissen, dass dies in die Summe von zwei Zahlen zerlegt werden muss. \(p/2\) ist der Scheitelpunktsstelle der quadratischen Funktion \(f(x) = x^2+px+q\) und die zwei Nullstellen, sofern existent, haben von der Scheitelpunktsstelle \(p/\) den selben Abstand, den wir \(u\) nennen wollen.
Damit ist
\[x_1 = \frac{p}{2} +u \quad\text{ und }\quad x_2 = \frac{p}{2} - u\]
In unserem Beispiel also \[x_1 = 4+u \quad\text{ und }\quad x_2 = 4 - u\] Da nachdem Wurzelsatz von Viete \(q=x_1 \cdot x_2\) ist gilt (mit der 3. Binomischen Formel) für unser Beispiel nun
\[x_1 \cdot x_2 = (4+u)(4-u)=4^2-u^2 = 16-u^2 = 12\]
Wir stellen die Gleichung um und erhalten
\[u^2 = 16-12 = 4\] woraus sich
\[u = \pm\sqrt{4} = \pm 2\]
und – entweder durch ausprobieren oder nachdenken – die Lösung \(x_1=2\) und \(x_2=6\) ergibt.
Ein weiteres Beispiel
\[x^2 -10 \cdot x + 24 = 0\]
Dann ist \(x_1=5-u\), \(x_2=5+u\), \(x_1\cdot x_2=25-u^2 = 24\) und somit \(u^2=\pm 1\) und die Lösung \(x_1=4\) sowie \(x_2=6\).
Und noch ein Beispiel
\[x^2 - 7 \cdot x + 12 = 0\]
Nun ist \(x_1=3{,}5-u\), \(x_2=3{,}5+u\), \(x_1 \cdot x_2 = 12{,}25-u^2=12\) und somit \(u^2=\pm 0{,}25\) und die Lösung \(x_1=3\) und \(x_2=4\).
